Properties of the disjoint sum _+_ of types.

\begin{code}

{-# OPTIONS --without-K --exact-split --safe #-}

module Plus-Properties where

open import Plus
open import Universes
open import Negation
open import Id
open import Empty
open import Unit
open import Unit-Properties

+-commutative : {A : ๐“ค ฬ‡ } {B : ๐“ฅ ฬ‡ } โ†’ A + B โ†’ B + A
+-commutative = cases inr inl

+disjoint : {X : ๐“ค ฬ‡ } {Y : ๐“ฅ ฬ‡ } {x : X} {y : Y} โ†’ ยฌ(inl x โ‰ก inr y)
+disjoint {๐“ค} {๐“ฅ} {X} {Y} p = ๐Ÿ™-is-not-๐Ÿ˜ q
 where
  f : X + Y โ†’ ๐“คโ‚€ ฬ‡
  f (inl x) = ๐Ÿ™
  f (inr y) = ๐Ÿ˜

  q : ๐Ÿ™ โ‰ก ๐Ÿ˜
  q = ap f p


+disjoint' : {X : ๐“ค ฬ‡ } {Y : ๐“ฅ ฬ‡ } {x : X} {y : Y} โ†’ ยฌ(inr y โ‰ก inl x)
+disjoint' p = +disjoint (p โปยน)

inl-lc : {X : ๐“ค ฬ‡ } {Y : ๐“ฅ ฬ‡ } {x x' : X} โ†’ inl {๐“ค} {๐“ฅ} {X} {Y} x โ‰ก inl x' โ†’ x โ‰ก x'
inl-lc refl = refl

inr-lc : {X : ๐“ค ฬ‡ } {Y : ๐“ฅ ฬ‡ } {y y' : Y} โ†’ inr {๐“ค} {๐“ฅ} {X} {Y} y โ‰ก inr y' โ†’ y โ‰ก y'
inr-lc refl = refl

equality-cases : {X : ๐“ค ฬ‡ } {Y : ๐“ฅ ฬ‡ } {A : ๐“ฆ ฬ‡ } (z : X + Y)
               โ†’ ((x : X) โ†’ z โ‰ก inl x โ†’ A) โ†’ ((y : Y) โ†’ z โ‰ก inr y โ†’ A) โ†’ A
equality-cases (inl x) f g = f x refl
equality-cases (inr y) f g = g y refl

Cases-equality-l : {X : ๐“ค ฬ‡ } {Y : ๐“ฅ ฬ‡ } {A : ๐“ฆ ฬ‡ } (f : X โ†’ A) (g : Y โ†’ A)
                 โ†’ (z : X + Y) (x : X) โ†’ z โ‰ก inl x โ†’ Cases z f g โ‰ก f x
Cases-equality-l f g .(inl x) x refl = refl

Cases-equality-r : {X : ๐“ค ฬ‡ } {Y : ๐“ฅ ฬ‡ } {A : ๐“ฆ ฬ‡ } (f : X โ†’ A) (g : Y โ†’ A)
                 โ†’ (z : X + Y) (y : Y) โ†’ z โ‰ก inr y โ†’ Cases z f g โ‰ก g y
Cases-equality-r f g .(inr y) y refl = refl

Left-fails-then-right-holds : {P : ๐“ค ฬ‡ } {Q : ๐“ฅ ฬ‡ } โ†’ P + Q โ†’ ยฌ P โ†’ Q
Left-fails-then-right-holds (inl p) u = ๐Ÿ˜-elim (u p)
Left-fails-then-right-holds (inr q) u = q

Right-fails-then-left-holds : {P : ๐“ค ฬ‡ } {Q : ๐“ฅ ฬ‡ } โ†’ P + Q โ†’ ยฌ Q โ†’ P
Right-fails-then-left-holds (inl p) u = p
Right-fails-then-left-holds (inr q) u = ๐Ÿ˜-elim (u q)

open import Unit
open import Sigma
open import GeneralNotation

inl-preservation : {X : ๐“ค ฬ‡ } {Y : ๐“ฅ ฬ‡ } (f : X + ๐Ÿ™ {๐“ฆ}  โ†’ Y + ๐Ÿ™ {๐“ฃ})
                 โ†’ f (inr *) โ‰ก inr *
                 โ†’ left-cancellable f
                 โ†’ (x : X) โ†’ ฮฃ y ๊ž‰ Y , f (inl x) โ‰ก inl y
inl-preservation {๐“ค} {๐“ฅ} {๐“ฆ} {๐“ฃ} {X} {Y} f p l x = ฮณ x (f (inl x)) refl
 where
  ฮณ : (x : X) (z : Y + ๐Ÿ™) โ†’ f (inl x) โ‰ก z โ†’ ฮฃ y ๊ž‰ Y , z โ‰ก inl y
  ฮณ x (inl y) q = y , refl
  ฮณ x (inr *) q = ๐Ÿ˜-elim (+disjoint (l r))
   where
    r : f (inl x) โ‰ก f (inr *)
    r = q โˆ™ p โปยน

\end{code}